¿Cuántos divisores tiene un número compuesto?

Un número natural o es primo o es compuesto.
En caso de que el número sea primo, éste tiene dos únicos divisores que son el 1 y el propio número.

Div(7) = {1, 7}

En caso de que el número sea compuesto, siempre tiene algún otro divisor más. De hecho es una definición, otra, de número compuesto. Un número compuesto lo es si tiene más de dos divisores.

Pero ¿cuántos divisores tiene este número compuesto? y ¿cómo saberlo?
Si un número es compuesto, se puede descomponer en producto de factores primos. Para averiguar el número de divisores, multiplicamos los exponentes de los factores incrementados todos en una unidad.
Por ejemplo, vamos a averiguar el número de divisores del 120.
Primero lo descomponemos en factores primos. Ver la entrada en la que explicamos el proceso de descomposición en factores primos.
120 = 2³.3.5
Los exponentes son 3, 1 y 1:
120 = 2³.3¹.5¹
luego:
Número de divisores = (3+1).(1+1).(1+1) = 4 . 2 . 2 = 16
Así que ya sabemos que tiene 16 divisores.

Encontrar todos los divisores

Ya sabemos pues, que el 120 tiene dieciséis divisores.
Pero ¿cuáles son?
Según el método ya explicado aquí, tendríamos que buscar las parejas de números que multiplicados den como resultado el 120.
Pero es un método un poco pesado. Y, si el número es mayor, más pesado todavía.

1 x 120
2 x 60
3 x 40
4 x 30
5 x 24
6 x 20
8 x 15
10 x 12

Div(120) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

El nuevo método consiste en:
1º.-Desarrollamos todas las potencias del primer factor. Como el primer factor es de exponente 3, tenemos 2⁰, 2¹, 2² y 2³
2⁰ = 1
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8

2º.- Estos números obtenidos se multiplican por el siguiente factor. Si este segundo factor es una potencia, tendríamos que multiplicar por cada una de los desarrollos de esta potencia. Como en este caso, el segundo factor no tiene exponente (el exponente es uno), se multiplica sencillamente por el factor.

3º.- A continuación se multiplican todos los números obtenidos (en este caso ocho) por el siguiente factor. Obtendremos otros ocho números. En total ya serán los 16 previstos. Y así sucesivamente en el caso de que hubiese más factores.

Los escribimos todos ordenadamente:
Div(120) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 }

Veamos otro ejemplo.
Queremos buscar todos los divisores de 900.
Descomponemos en factores primos:
900 = 2².3².5²
Número de divisores = (2+1).(2+1).(2+1) = 3 . 3 . 3 = 27
Desarrollamos las potencias del primer factor primo:
2⁰ = 1
2¹ = 2
2² = 4
Estos tres números se multiplican primero por el siguiente factor, el 3

En segundo lugar, se multiplican los tres primeros números iniciales por el 3² = 9

En tercer lugar, se multiplican todos los números anteriores, primero por 5:

Y después por 5² = 25

Hemos obtenido los 27 divisores que sabíamos tenía el 900.
Los escribimos ordenadamente:
Div(900) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 36, 45, 50, 60, 75, 90, 100, 150, 180, 225, 300, 450, 900 }